一、函数

1. 函数的定义

设有两个变量$x$ 和$y$，$D$ 是一个非空数集。如果对$\forall x \in D$，变量$y$ 按照某一确定的法则$f$ 总有相应的值与之对应，则称$y$ 是$x$ 的函数，记为$y=f(x)$。数集$D$ 称之为函数的定义域。

2. 函数的性质

（1）奇偶性

设函数$y=f(x)$ 的定义区间$I$ 关于原点对称，如果对于$I$ 内任意一点$x$ ，恒有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$ 为区间$I$ 内的偶函数；如果恒有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$ 为区间$I$ 内的奇函数。

（2）有界性

设函数$f(x)$ 在$X$ 上有定义，如果存在常数$M$，当$x \in X$ 时，恒有$f(x)\leqslant M$，则称$f(x)$ 在$X$ 上有上界；设函数$f(x)$ 在$X$ 上有定义，如果存在常数$m$，当$x \in X$ 时，恒有$f(x)\geqslant m$，则称$f(x)$ 在$X$ 上有下界；设函数$f(x)$ 在$X$ 上有定义，如果存在常数$M>0$，当$x \in X$ 时，恒有$|f(x)|\leqslant M$，则称$f(x)$ 在$X$ 上有界。

（3）周期性

设函数$f(x)$ 在区间$I$ 上有定义，若存在$T>0$，对任意的$x \in I$，有$x±T\in I$ ，并且$f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$ 为周期函数。使得上述关系式成立的最小正数$T$ 称为$f(x)$ 的最小正周期，简称为函数$f(x)$ 的周期。

（4）单调性

设函数$f(x)$ 在区间$I$ 上有定义，如果对于该区间内的任意两点$x_1<x_2$，恒有$f(x_1)<f(x_2)$（或$f(x_1)>f(x_2)$），则称$f(x)$ 在区间$I$ 内单调增加（或单调减少）。

3. 反函数、复合函数、初等函数、分段函数、隐函数

（1）反函数

设函数$y=f(x)$ 的定义域为$D$ ，值域为$R$。若对任意$y \in R$，有唯一确定的$x \in D$，使得$y = f(x)$，则记为$x=f^{-1}(y)$，称其为$y=f(x)$ 的反函数。

（2）复合函数

若函数$u=\varphi (x)$ 在$x_0$ 处有定义，函数$y=f(u)$ 在$u_0=\varphi(x_0)$ 处有定义，则函数$y=f[\varphi(x)]$ 在$x_0$ 处有定义，称$y=f[\varphi(x)]$ 是由函数$y=f(u)$ 和$u=\varphi (x)$ 复合而成的复合函数，$u$ 为中间变量。

（3）初等函数

由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算得到的，并能用一个数学表达式表示的函数，称为初等函数。

注 六类基本初等函数为：

$y=C （常数）；$

$y=x^a （a\in R是常数）；$

$y=a^x （a>0 且 a\neq1）；$

$y=\log_ax （a>0 且 a\neq1），当a=e时，记y=\ln x；$

$y=\sin x,\cos x,\tan x,\cot x,\sec x,\csc x；$

$y=\arcsin x,\arccos x,\arctan x,arccot x.$

（4）分段函数

在定义域内的不同范围用不同表达式表示的函数称为分段函数。

注 常见的分段函数有：

1 绝对值函数$x = \begin{cases} x,&x\geqslant 0, \\ -x,&x<0, \end{cases}$

2 符号函数 $\newcommand{\sign}[1]{\mathrm{sgn}(#1)} \sign {x} = \begin{cases} 1 &x>0, \\ 0 &x=0, \\ -1,& x<0, \end{cases}$

3 取整函数$[x]$ 表示不超过$x$ 的最大整数，显然有$[x]\leqslant x <[x]+1$。

（5）隐函数

如果在方程$F(x,y)=0$中，当$x$ 取某区间内的任一值时，相应地总有满足这一方程的唯一的$y$ 值存在，则称方程$F(x,y)=0$ 在该区间内确定了一个隐函数$y=y(x)$。